Question

15．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c且$\frac{tanB}{tanA}$+1=$\frac{2c}{a}$．
（1）求B；
（2）cos（C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{7}$，求sinA的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理把已知等式中的a和c，化成sinA和sinB，化简整理求得cosB的值，进而求得B．
（2）利用同角三角函数关系，求得sin（C+$\frac{π}{6}$）的值，进而利用两角和公式求得答案．

解答 解：（1）∵$\frac{tanB}{tanA}$+1=$\frac{2c}{a}$．
∴由同角三角函数关系式及正弦定理可得：$\frac{sinBcosA}{cosBsinA}+1$=$\frac{2sinC}{sinA}$，整理有：$\frac{sinC}{cosBsinA}=\frac{2sinC}{sinA}$，
∵由A∈（0，π），C∈（0，π），sinC≠0，sinA≠0，可得：cosB=$\frac{1}{2}$．
∴由B∈（0，π），可得：B=$\frac{π}{3}$．
（2）（2）∵0＜C＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜C+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$．
∵cos（C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{7}$，
∴sin（C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．          
∴sinA
=sin（B+C）
=sin（C+$\frac{π}{3}$）
=sin[（C+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]
=sin（C+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+cos（C+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$
=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{7}×\frac{1}{2}$
=$\frac{13}{14}$．

点评 本题主要考查了正弦定理的运用，两角和公式的运用．解题的过程中一定要特别注意角的范围，属于基本知识的考查．