Question

4．已知D是以点A（4，1）、B（-1，-6）、C（-3，2）为顶点的三角形区域（包括边界及内部）．
（1）写出表示区域D的不等式组；
（2）设点B（-1，-6）、C（-3，2）在直线4x-3y-a=0的异侧，求a的取值范围；
（3）若目标函数z=kx+y（k＜0）的最小值为-k-6，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，画出图形，结合图形，求出直线AB、AC、BC的方程，从而得出表示区域D的不等式组；
（2）由已知点B（-1，-6）、C（-3，2）在直线4x-3y-a=0的异侧，我们将B，C两点坐标代入直线方程所得符号相反，则我们可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案；
（3）目标函数z=kx+y（k＜0）的最小值为-k-6，即在B点取得，可得结论．

解答 解：（1）根据题意，画出图形，如图所示；
∴直线AB的方程是：7x-5y-23=0，
直线AC的方程是：x+7y-11=0，
直线BC的方程是：4x+y+10=0；
又点O（0，0）在区域D内，
∴表示区域D的不等式组为$\left\{\begin{array}{l}{7x-5y-23≤0}\\{x+7y-11≤0}\\{4x+y+10≥0}\end{array}\right.$；
（2）若点B（-1，-6）、C（-3，2）在直线4x-3y-a=0的异侧，
则（-4+18-a）×（-12-6-a）＜0
即（a-14）（a+18）＜0
解得-18＜a＜14；
（3）目标函数z=kx+y（k＜0）的最小值为-k-6，即在B点取得，由于BC的斜率是-4，则-4＜k＜0

点评 本题考查了不等式表示平面区域的问题以及两条直线相交的问题，解题时应画出图形，结合图形来解答问题，是中档题．