Question

19．如图，在底面边长为a的正方形的四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面AC，且PA=a，则直线PB与平面PCD所成的角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 出B到平面PCD的距离，即可求出直线PB与平面PCD所成的角大小．

解答 解：设B到平面PCD的距离为h，直线PB与平面PCD所成的角为α，
则由V_B-PCD=V_P-BCD，可得 $\frac{1}{3}$•（$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$a•a）•h=$\frac{1}{3}$•（$\frac{1}{2}$•a•a）•a，∴h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
∵PB=$\sqrt{2}$a，∴sinα=$\frac{h}{PB}$=$\frac{1}{2}$，∴α=30°，
故直线PB与平面PCD所成的角的余弦值为cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查直线与平面所成的角，考查学生的计算能力，确定B到平面PCD的距离是关键，属于中档题．