Question

11．数列{x_n}，x₁=$\frac{3}{2}$，x_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{3{x}_{n}，n为奇数}\\{{x}_{n}+n，n为偶数}\end{array}\right.$
（1）设y_n=x_2n-1+n+$\frac{1}{2}$，求证{y_n}成等比数列；
（2）记x₁+x₂+x₃+…x_2n=S_2n，求$\frac{{S}_{2n}+2{n}^{2}+4n}{{9}^{n}}$最大值．

Answer 1

分析 （1）由x₁=$\frac{3}{2}$，x_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{3{x}_{n}，n为奇数}\\{{x}_{n}+n，n为偶数}\end{array}\right.$，可得x_2n+1=x_2n+2n，x_2n=x_2n-1+1=3x_2n-1．证明$\frac{{y}_{n+1}}{{y}_{n}}$为一常数即可；
（2）由（1）可得：y_n=3ⁿ，可得${x}_{2n-1}={3}^{n}-n-\frac{1}{2}$．x_2n=x_2n+1-2n=${3}^{n+1}-3n-\frac{3}{2}$．可得x_2n-1+x_2n，即可得出S_2n．

解答 （1）证明：∵x₁=$\frac{3}{2}$，x_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{3{x}_{n}，n为奇数}\\{{x}_{n}+n，n为偶数}\end{array}\right.$，
∴x_2n+1=x_2n+2n，x_2n=x_2n-1+1=3x_2n-1．
∴$\frac{{y}_{n+1}}{{y}_{n}}$=$\frac{{x}_{2n+1}+（n+1）+\frac{1}{2}}{{x}_{2n-1}+n+\frac{1}{2}}$=$\frac{{3x}_{2n-1}+2n+（n+1）+\frac{1}{2}}{{x}_{2n-1}+n+\frac{1}{2}}$=$\frac{3（{x}_{2n-1}+n+\frac{1}{2}）}{{x}_{2n-1}+n+\frac{1}{2}}$=3，
∴数列{y_n}成等比数列，首项为${x}_{1}+1+\frac{1}{2}$=3，公比为3；
（2）解：由（1）可得：y_n=3ⁿ，
∴${x}_{2n-1}+n+\frac{1}{2}$=3ⁿ，
∴${x}_{2n-1}={3}^{n}-n-\frac{1}{2}$．
x_2n=x_2n+1-2n=${3}^{n+1}-（n+1）-\frac{1}{2}$-2n=${3}^{n+1}-3n-\frac{3}{2}$．
∴x_2n-1+x_2n=4•3ⁿ-4n-2．
∴S_2n=x₁+x₂+x₃+…x_2n=4（3+3²+…+3ⁿ）-4（1+2+…+n）-2n
=$4×\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-$4×\frac{n（1+n）}{2}$-2n
=6×3ⁿ-6-4n-2n²，
∴$\frac{{S}_{2n}+2{n}^{2}+4n}{{9}^{n}}$=$\frac{6×{3}^{n}-6}{{9}^{n}}$=$-6（\frac{1}{{3}^{n}}-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{2}$≤$\frac{4}{3}$，当且仅当n=1时取等号．
∴$\frac{{S}_{2n}+2{n}^{2}+4n}{{9}^{n}}$最大值为$\frac{4}{3}$．

点评 本题看到了递推式的应用、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．