Question

16．已知f（x）=log_a$\frac{x-3}{x+3}$（0＜a＜1）定义域为m≤x≤n，值域是log_a[a（n-1）]≤f（x）≤log_a[a（m-1）]．
（1）求证：m＞3；
（2）求正数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的定义域即可证明m＞3；
（2）求出函数的单调性结合对数函数的运算性质，利用基本不等式的性质进行求解即可．

解答 证明：（1）∵0＜a＜1，
∴函数f（x）在[m，n）上为减函数，
则函数的取值范围为f（n）＜f（x）≤f（m），
即log_a$\frac{m-3}{m+3}$=log_a[a（m-1）]．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m-3}{m+3}＞0}\\{m-1＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＞3或m＜-3}\\{m＞1}\end{array}\right.$，
解得m＞3．
（2）∵f（x）=log_a$\frac{x-3}{x+3}$（0＜a＜1）在[m，n]递减，
∴log_a$\frac{n-3}{n+3}$≤f（x）≤log_a$\frac{m-3}{m+3}$．
∵log_a[a（n-1）]≤f（x）≤log_a[a（m-1）]．
∴log_a[a（n-1）]=log_a$\frac{n-3}{n+3}$，
log_a$\frac{m-3}{m+3}$=log_a[a（m-1）]．
即$\frac{m-3}{m+3}$=a（m-1）
则a=$\frac{m-3}{（m-1）（m+3）}$=$\frac{m-3}{{m}^{2}+2m-3}$=$\frac{m-3}{（m-3）^{2}+8（m-3）+12}$=$\frac{1}{（m-3）+\frac{12}{m-3}+8}$，
∵m＞3，
∴m-3+$\frac{12}{m-3}$+8$≥8+2\sqrt{（m-3）•\frac{12}{m-3}}$=8+4$\sqrt{3}$．
∴0＜$\frac{1}{（m-3）+\frac{12}{m-3}+8}$$≤\frac{1}{8+4\sqrt{3}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$，
故0＜a≤$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$，
故a∈（0，$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$]．

点评 本题主要考查复合函数单调性的性质的应用，结合对数函数的性质是解决本题的关键．在求最值的过程中使用基本不等式是解决本题的关键．