Question

7．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，E为棱PD的中点．
（1）求证：PB∥平面EAC；
（2）求证：平面PAD⊥平面ABCD．

Answer 1

分析 （1）连接BD，交AC于F，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；
（2）运用面面垂直的判定定理，只要证得CD⊥平面PAD，由线面垂直和矩形的定义即可得证．

解答 证明：（1）连接BD，交AC于F，
由E为棱PD的中点，F为BD的中点，
则EF∥PB，
又EF?平面EAC，PB?平面EAC，
则PB∥平面EAC；
（2）由PA⊥平面PCD，
则PA⊥CD，
底面ABCD为矩形，
则CD⊥AD，
又PA∩AD=A，
则有CD⊥平面PAD，
由CD?平面ABCD，
则有平面PAD⊥平面ABCD．

点评 本题考查空间直线和平面的位置关系，主要考查线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理，注意定理的条件的全面性是解题的关键．