Question

10．已知函数f（x）在定义域（-∞，+∞）上为奇函数，且当x＜0时，f（x）=x²+x+1，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 当x＞0时，-x＜0，由已知表达式可求得f（-x），根据奇函数的性质可得f（x）与f（-x）的关系式，求出x＞0时的表达式，再推出f（0）=0，可得答案．

解答 解：当x＞0时，-x＜0，
∵x＜0时，f（x）=x²+x+1，
∴f（-x）=（-x）²+（-x）+1=x²-x+1，
又f（x）为奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-（x²-x+1）=-x²+x-1，
∴当x＞0时，f（x）=-x²+x-1，
又f（0）=0满足题意，
综上得，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+x+1，x＜0\\ 0，x=0\\{-x}^{2}+x-1，x＞0\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数解析式的求解及函数奇偶性的应用，属基础题，解决该类题目要注意所求解析式对应的x的范围．