Question

4．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆过（2，$\sqrt{2}$）且离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）A为椭圆上异于椭圆左右顶点的任意一点，B与A关于原点O对称，直线AF交椭圆于另外一点C，直线BF交椭圆于另外一点D，
①求直线DA与直线DB的斜率之积
②判断直线AD与直线BC的交点M是否在一条直线上？说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的离心率以及椭圆过点，建立方程关系求出a，b即可求椭圆的标准方程；
（2）利用设而不求的思想设出A，B的坐标没求出直线DA，DB的斜率即可得到结论．

解答 解：（1）∵离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$∴a²=2b²…（2分）
将$A（2，\sqrt{2}）$代入椭圆方程得$\frac{4}{a^2}+\frac{2}{b^2}=1$
解得a²=8，b²=4
故所求椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$…（5分）
（2）①设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则B（-x₁，-y₁），${k_{DA}}•{k_{DB}}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}•\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}+{x_1}}}=\frac{y_2^2-y_1^2}{x_2^2-x_1^2}$
∵A，D都在椭圆上，∴$x_1^2+2y_1^2=8$，$x_2^2+2y_2^2=8$
∴$y_2^2-y_1^2=4-\frac{1}{2}x_2^2-（4-\frac{1}{2}x_1^2）=-\frac{1}{2}（x_2^2-x_1^2）$∴${k_{DA}}•{k_{DB}}=-\frac{1}{2}$．  …（10分）
②M在定直线x=4上．                                          …（11分）
∵${k_{DB}}={k_{BF}}=\frac{y_1}{{{x_1}+2}}$，∴${k_{DA}}=-\frac{{{x_1}+2}}{{2{y_1}}}$
∴直线AD的方程为$y-{y_1}=-\frac{{{x_1}+2}}{{2{y_1}}}（x-{x_1}）$①
同理，直线BC的方程为$y+{y_1}=-\frac{{{x_1}-2}}{{2{y_1}}}（x+{x_1}）$②
由②-①得$2{y_1}=-\frac{{{x_1}-2}}{{2{y_1}}}（x+{x_1}）+\frac{{{x_1}+2}}{{2{y_1}}}（x-{x_1}）$
整理得$2x_1^2+4y_1^2=4x$③
∵$x_1^2+2y_1^2=8$
∴x=4
所以直线AD与BC的交点M在定直线x=4上．                  …（16分）

点评 本题主要考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆方程的位置关系的应用，利用设而不求的思想以以及点差法是解决本题的关键．