Question

12．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$$+\frac{{y}^{2}}{9}$=1的右焦点且倾角为45°的弦AB的长为（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． $\frac{90}{17}$
• D． 7

Answer 1

分析 由题意作图辅助，从而可得点F（4，0），AB的方程为y=x-4；联立方程化简可得34x²-200x+175=0；再利用根与系数的关系及椭圆的第二定义求解即可．

解答 解：作图如右图，由题意知，
a=5，b=3，c=4；
故点F（4，0），AB的方程为y=x-4；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\\{y=x-4}\end{array}\right.$联立消y化简可得，
34x²-200x+175=0；
故x₁+x₂=$\frac{200}{34}$=$\frac{100}{17}$；
则弦AB的长|AB|=|AF|+|BF|
=$\frac{c}{a}$（$\frac{{a}^{2}}{c}$-x₁）+$\frac{c}{a}$（$\frac{{a}^{2}}{c}$-x₂）
=$\frac{4}{5}$（$\frac{25}{4}$×2-$\frac{100}{17}$）
=$\frac{90}{17}$；
故选：C．

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系应用，同时考查了椭圆的第二定义及根与系数的关系应用，属于中档题．