Question

2．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的左焦点为F，右顶点为A，点P在椭圆上，直线AP交y轴于点M，若$\overrightarrow{PF}$=$\sqrt{3}\overrightarrow{MO}$（O为坐标原点），则椭圆的离心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\sqrt{3}-1$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 画出图形，利用$\overrightarrow{PF}$=$\sqrt{3}\overrightarrow{MO}$推出关系式，然后求解椭圆的离心率即可．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的左焦点为F，右顶点为A，点P在椭圆上，直线AP交y轴于点M，$\overrightarrow{PF}$=$\sqrt{3}\overrightarrow{MO}$，
可知$\left|\overrightarrow{PF}\right|$是椭圆的半通经，如图：
$\overrightarrow{PF}$=$\sqrt{3}\overrightarrow{MO}$，
可得：$\frac{a+c}{a}=\sqrt{3}$，解答椭圆的离心率为：$\sqrt{3}-1$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的简单性质，圆锥曲线与向量相结合，考查分析问题解决问题的能力．