Question

7．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e₁，e₂，则（　　）

• A． $\frac{1}{{e}_{1}}$-$\frac{1}{{e}_{2}}$=1
• B． $\frac{1}{{e}_{1}}$-$\frac{1}{{e}_{2}}$=2
• C． $\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$=1
• D． $\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$=2

Answer 1

分析 以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案．

解答 解：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，
则A（-1，0），B（1，0），C（1+cosθ，sinθ），
所以AC=$\sqrt{（1+cosθ+1）^{2}+si{n}^{2}θ}$=$\sqrt{5+4cosθ}$，
对于椭圆而言，2c=2，2a=AC+BC=$\sqrt{5+4cosθ}$+1，
所以$\frac{1}{{e}_{1}}$=$\frac{a}{c}$=$\frac{\sqrt{5+4cosθ}+1}{2}$；
对于双曲线而言，2c=2，2a=AC-BC=$\sqrt{5+4cosθ}$-1，
所以$\frac{1}{{e}_{2}}$=$\frac{a}{c}$=$\frac{\sqrt{5+4cosθ}-1}{2}$；
故$\frac{1}{{e}_{1}}$-$\frac{1}{{e}_{2}}$=$\frac{\sqrt{5+4cosθ}+1}{2}$-$\frac{\sqrt{5+4cosθ}-1}{2}$=1，
故选：A．

点评 本题考查椭圆、双曲线的概念，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．