Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF₂交C于点A，若F₁A⊥MF₂，且|MF₂|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}-1$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\sqrt{3}-1$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 如图所示，在Rt△AF₁F₂中，|F₁F₂|=2|OA|=2c．又|MF₂|=2|OA|，可得∠AF₂F₁=60°，在Rt△AF₁F₂中，可得|AF₂|=c，|AF₁|=$\sqrt{3}$c．再利用椭圆的定义即可得出．

解答 解：如图所示，
在Rt△AF₁F₂中，|F₁F₂|=2|OA|=2c．
又|MF₂|=2|OA|，
在Rt△OMF₂中，
∴∠AF₂F₁=60°，
在Rt△AF₁F₂中，
|AF₂|=c，|AF₁|=$\sqrt{3}$c．
∴2a=c+$\sqrt{3}$c，
∴$\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$-1．
故选：C．

点评 本题考查了直角三角形的边角关系及其性质、椭圆的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．