Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x＜0}\\{x-a，x≥0}\end{array}\right.$，以下说法正确的是（　　）

• A． ?a∈R，函数f（x）在定义域上单调递增
• B． ?a∈R，函数f（x）存在零点
• C． ?a∈R，函数f（x）有最大值
• D． ?a∈R，函数f（x）没有最小值

Answer 1

分析 A，当a=1时，易求f（0）=-1＜$\frac{1}{2}$=f（-1），可判断A的正误；
B，当a＜0时，利用指数函数与二次函数的性质可知f（x）＞0恒成立，从而可判断B的正误；
C，当x≥0时，f（x）=x-a，无论a取何值，函数无最大值，据此可判断C的正误；
D，?a=1∈R，使得函数f（x）的值域为（0，+∞），没有最小值，可判断D的正误．

解答 解：对于A，当a=1时，f（0）=-1＜$\frac{1}{2}$=f（-1），函数f（x）在定义域上不是单调递增函数，故A错误；
对于B，当a＜0时，在区间[0，+∞）上，f（x）=x-a＞0恒成立，在区间（-∞，0）上，f（x）=2^x＞0恒成立，所以函数f（x）在定义域内不存在零点，故B错误；
对于C，当x≥0时，f（x）=x-a，无论a取何值，函数无最大值，故C错误；
对于D，?a=1∈R，使得函数f（x）的值域为（0，+∞），没有最小值，故D正确．
故选：D．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查分段函数的单调性质、最值应用，属于中档题．