Question

14．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，ADCD，AD=2BC=2CD=2，M，N，E分别为，AB，CD，AD的中点，将△ABE沿BE折起，使折叠后AD=1
（1）求证：折叠后MN∥平面AED；
（2）求折叠后四棱锥A-BCDE的体积．

Answer 1

分析 （1）根据折叠前空间直线的位置关系结合线面平行的判定定理即可证明折叠后MN∥平面AED；
（2）结合四棱锥的体积公式进行求解即可．

解答 证明：（1）如图，在四棱锥A-BCDE中，取AE的中点P，连接MP，DP，
由M，N，P均为中点，
则MP∥BE∥CD，且MP=$\frac{1}{2}$BE=ND，
∴四边形MNDP为平行四边形，则MN∥DP，
∵MN?平面AED，DP?平面AED．
∴MN∥平面AED，即折叠后MN∥平面AED．
（2）在四棱锥A-BCDE中，取ED的中点Q，连接AQ，
∵折叠前梯形ABCD中，E为AD的中点，AD=2BC=2CD=2，AD⊥CD，
∴四边形BCDE为正方形，则BE⊥AD，
在四棱锥A-BCDE中，BE⊥EA，BE⊥ED，
∵EA∩DE=E，
∴BE⊥平面AED，
∵AQ?平面AED，得BE⊥AQ
∵在△AED中，AE=AD=ED=1，
∴AQ⊥ED，且AQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵BE∩ED=E，
∴AQ⊥平面BCDE，
∴四棱锥A-BCDE的体积V=$\frac{1}{3}$S_BCDE•AD=$\frac{1}{3}×1×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题主要考查空间直线和平面平行的判定以及空间四棱锥的体积公式的计算，考查学生的推理和证明能力．