Question

12．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，求证：对于任意不小于3的正整数n，都有f（n）$＞\frac{n}{n+1}$成立．

Answer 1

分析 要证f（n）＞$\frac{n}{n+1}$（n∈N^*且n≥3），只需证$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}+1}$＞$\frac{n}{n+1}$，即证1-$\frac{2}{{2}^{n}+1}$＞1-$\frac{1}{n+1}$，也就是证明2ⁿ-1＞2n，利用数学归纳法证明2ⁿ-1＞2n（n∈N^*，且n≥3）．

解答 证明：要证f（n）＞$\frac{n}{n+1}$（n∈N^*且n≥3），
只需证$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}+1}$＞$\frac{n}{n+1}$，即证1-$\frac{2}{{2}^{n}+1}$＞1-$\frac{1}{n+1}$，
也就是证明2ⁿ-1＞2n．
下面用数学归纳法来证明2ⁿ-1＞2n（n∈N^*，且n≥3）．
①当n=3时，左边=7，右边=6，左边＞右边，不等式成立．
②假设当n=k（k∈N^*，且k≥3）时不等式成立，即2^k-1＞2k，
则当n=k+1时，2^k+1-1=2•2^k-1=2（2^k-1）+1＞2•2k+1=2（k+1）+2k-1＞2（k+1），
故当n=k+1时，不等式也成立．
综上所述，当n∈N^*且n≥3时，2ⁿ-1＞2n成立．
所以f（n）＞$\frac{n}{n+1}$（n∈N^*且n≥3）成立．

点评 本题考查不等式的证明，考查数学归纳法，掌握数学归纳法的证明步骤是解题的关键．