Question

10．已知函数f（x）=|x-2|-|x-a|（a∈R）
（Ⅰ）当a=4时，求不等式f（x）＜1的解集
（Ⅱ）若a＜0，且不等式|f（x）|＜a²恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用零点分区间的方法，去绝对值，分别解不等式，再求并集即可；
（Ⅱ）运用绝对值不等式的性质，求得|f（x）|的最大值2-a，令a²＞2-a，解不等式即可得到．

解答 解：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=|x-2|-|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{2，x≥4}\\{2x-6，2＜x＜4}\\{-2，x≤2}\end{array}\right.$，
当x≥4时，f（x）＜1即2＜1不成立；
当2＜x＜4时，f（x）＜1即2x-6＜1，解得x＜$\frac{7}{2}$，即为2＜x＜$\frac{7}{2}$；
当x≤2时，f（x）＜1即-2＜1，即有x≤2，
综上可得，解集为（2，$\frac{7}{2}$）∪（-∞，2]=（-∞，$\frac{7}{2}$）；
（Ⅱ）函数f（x）=|x-2|-|x-a|，（a＜0），
|f（x）|=||x-2|-|x-a||≤|（x-2）-（x-a）|=2-a，
即有f（x）的最大值为2-a，
不等式|f（x）|＜a²恒成立，即有a²＞2-a，
解得a＞1或a＜-2，又a＜0，
则a＜-2．
即有a的取值范围是（-∞，-2）．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，主要考查分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质的运用，注意恒成立思想方法转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题．