Question

5．如图所示，已知A、B、C三点都在⊙O上，CD是⊙O的切线，直线AB与CD交于点D．
（Ⅰ）若∠ADC的平分线分别交BC、AC于点E、F，求证：CE=CF；
（Ⅱ）若CD=6，BC=5，求线段AC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用DF是∠ADC的平分线，可得∠CDF=∠ADF，利用切线的性质，可得∠BCD=∠A，∠CFD=∠CEF，即可证明CE=CF；
（Ⅱ）利用切割线定理求出DB，可得DA，证明△BCD∽△CAD，即可求线段AC的长．

解答 （Ⅰ）证明：因为DF是∠ADC的平分线，所以∠CDF=∠ADF，
因为CD是⊙O的切线，所以∠BCD=∠A，
所以∠CFD=∠A+∠ADF=∠BC+∠CDF=∠CEF，
所以CE=CF；
（Ⅱ）解：因为CD是⊙O的切线，ABD是⊙O的割线，
所以DC²=DB•DA，
所以36=DB（DB+5），
所以DB=4，
所以DA=DB+BA=9，
因为∠BCD=∠CAD，∠BDC=∠CDA，
所以△BCD∽△CAD，
所以$\frac{CD}{DA}=\frac{CB}{AC}$，
所以$\frac{6}{9}=\frac{3}{AC}$，
所以AC=4.5．

点评 本题考查圆的切线的性质，切割线定理，考查学生的计算能力，属于中档题．