已知曲线C1:$\left\{\begin{array}{l}{x=8cost}\\{y=3sint}\end{array}\right.$.以坐标原点为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程ρ=$\frac{7}{cosθ-2sinθ}$．设P为曲线C1上的点.点Q的极坐标为(4$\sqrt{2}$.$\frac{3π}{4}$).则PQ中点M到曲线C2上的点的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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20．已知曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cost}\\{y=3sint}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程ρ=$\frac{7}{cosθ-2sinθ}$．设P为曲线C₁上的点，点Q的极坐标为（4$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$），则PQ中点M到曲线C₂上的点的距离的最小值是$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

分析利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$把曲线C₂的极坐标方程ρ=$\frac{7}{cosθ-2sinθ}$，化为直角坐标方程．由于P为曲线C₁上的点，可设P点$\left\{\begin{array}{l}{x=8cost}\\{y=3sint}\end{array}\right.$（t为参数），点Q的极坐标为（4$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$），化为直角坐标Q（-4，4）．可得PQ中点M（4cost-2，$\frac{3sint+4}{2}$），再利用点到直线的距离公式、三角函数的单调性即可得出．

解答解：曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cost}\\{y=3sint}\end{array}\right.$（t为参数），化为$\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．
曲线C₂的极坐标方程ρ=$\frac{7}{cosθ-2sinθ}$，化为x-2y-7=0．
∵P为曲线C₁上的点，可设P点$\left\{\begin{array}{l}{x=8cost}\\{y=3sint}\end{array}\right.$（t为参数），
点Q的极坐标为（4$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$），化为直角坐标Q（-4，4）．
则PQ中点M（4cost-2，$\frac{3sint+4}{2}$）到曲线C₂上的点的距离d=$\frac{|4cost-2-（3sint+4）-7|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5sin（t+α）+13|}{\sqrt{5}}$$≥\frac{13-5}{\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．当sin（t+α）=-1时取等号．
故答案为：$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、椭圆的参数方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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科目：高中数学 来源： 题型：选择题

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