Question

13．已知f（x）=xlnx，设其切线为L
（1）求f（x）在（1，0）处切线方程L；
（2）证明：除切点外，f（x）的图象一直在L上方．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程；
（2）令g（x）=f（x）-x+1=xlnx-x+1（x＞0），求出g（x）的导数，求得单调区间和极值、最值，即可得证．

解答 （1）解：f（x）=xlnx的导数为f′（x）=lnx+1，
即有f（x）在（1，0）处切线斜率为k=1，
则f（x）在（1，0）处切线方程l为y=x-1；
（2）证明：令g（x）=f（x）-x+1=xlnx-x+1（x＞0），
g′（x）=lnx+1-1=lnx，
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减．
即有x=1处g（x）取得极小值，也为最小值，且为0．
则有g（x）≥0，
即有xlnx≥x-1．
故除切点外，f（x）的图象一直在l上方．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值及最值，主要考查导数的几何意义，同时考查转化思想的运用，属于中档题．