Question

3．已知数列{a_n}满足：a₁=2，a_n=a_n-1+2ⁿ（n≥2）
（1）求数列{a_n}的通项a_n
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由数列递推式直接利用累加法求数列{a_n}的通项a_n；
（2）利用数列的分组求和结合等比数列的前n项和得答案．

解答 解：（1）由a_n=a_n-1+2ⁿ（n≥2），得
${a}_{2}-{a}_{1}={2}^{2}$，
${a}_{3}-{a}_{2}={2}^{3}$，
…
a_n=a_n-1+2ⁿ（n≥2），
累加得：${a}_{n}-{a}_{1}={2}^{2}+{2}^{3}+…+{2}^{n}$（n≥2），
∴${a}_{n}=2+{2}^{2}+{2}^{3}+…+{2}^{n}=\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2；
（2）S_n=a₁+a₂+…+a_n=2²-2+2³-2+…+2ⁿ⁺¹-2
=（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）-2n=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}-2n={2}^{n+2}-2n-4$．

点评 本题考查了累加法求数列的通项公式，考查了数列的分组求和和等比数列的前n项和，是中档题．