Question

3．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求证：{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差数列，并求a_n；
（3）令$\frac{1}{{b}_{n}}$=（$\frac{{a}_{n}}{n}$）²，求证：b₁+b₂+…+b_n＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）根据题中给出的设数列{a_n}的前n项和为S_n，n=1，2，可求a₁，a₂的值；
（2）再写一式，两式相减，可证明：{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是公差为1的等差数列，将a₁=2代入便可求出数列{a_n}的通项公式；
（3）求出数列{b_n}的通项公式，再求和，即可证明结论．

解答 （1）解：由S_n满足S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2得S₁=2a₁-2¹⁺¹+2，∴a₁=2，
S₂=2a₂-2²⁺¹+2，∴a₂=8；
（2）证明：S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ+2（n≥2）．
两式相减，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是公差为1的等差数列．
又a₁=2．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+（n-1）=n，故a_n=n•2ⁿ．
（3）证明：$\frac{1}{{b}_{n}}$=（$\frac{{a}_{n}}{n}$）²=2²ⁿ，
∴b_n=$\frac{1}{{4}^{n}}$，
∴b₁+b₂+…+b_n=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$$＜\frac{1}{3}$．

点评 本题考查数列的综合应用，具体涉及到通项公式的求法、前n项和的求法．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．