Question

12．直角坐标系的元旦和极坐标系的极点重合，x轴正半轴与极轴重合单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数）．
（1）在极坐标系下，曲线C与射线$θ=\frac{π}{6}$和射线$θ=\frac{2π}{3}$分别交于A，B两点，求△ABC的面积；
（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t为参数），求曲线C与直线l的交点坐标．

Answer 1

分析 （1）曲线C在直角坐标系下的普通方程为：x²+y²=4，通过射线$θ=\frac{π}{6}$和射线$θ=\frac{2π}{3}$，及面积计算公式可得结果；
（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得t=0或2，再代入l的参数方程，即可．

解答 解：（1）曲线C在直角坐标系下的普通方程为：x²+y²=4，
所以|OA|=|OB|=2，
由射线$θ=\frac{π}{6}$和射线$θ=\frac{2π}{3}$，得$∠AOB=\frac{π}{2}$，
故△AOB的面积S=$\frac{1}{2}|OA||OB|=2$；
（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得t²-4t+4+t²=4，
所以t²-2t=0，解得t=0或2，
代入t的参数方程，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$，
所以曲线C与直线l的交点坐标为（-2，0）或（0，2）．

点评 本题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化等内容，属于中档题．