Question

20．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F₁作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若A恰好是F₁B的中点，则双曲线的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由题意可知，渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，则F₁A的方程为y-0=$\frac{a}{b}$（x+c），代入渐近线方程y=$\frac{b}{a}$x可得B的坐标，由若A恰好是F₁B的中点，所以|OB|=c，即可求得离心率．

解答 解：由题意可知，渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
则F₁A的方程为y-0=$\frac{a}{b}$（x+c），代入渐近线方程y=$\frac{b}{a}$x可得B的坐标为（$\frac{{a}^{2}c}{{b}^{2}-{a}^{2}}$，$\frac{abc}{{b}^{2}-{a}^{2}}$），
因为若A恰好是F₁B的中点，所以|OB|=c，
所以（$\frac{{a}^{2}c}{{b}^{2}-{a}^{2}}$）²+（$\frac{abc}{{b}^{2}-{a}^{2}}$）²=c²，
所以b²=3a²，所以c²=a²+b²=4a²，
所以e=2
故选：C．

点评 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出B的坐标是解题的关键．