Question

15．已知n³（n∈N^*）有如下的拆分方式：1³=1，2³=2+4+2，3³=3+6+9+6+3，…，这些通过拆分得到的数可组成右边的数阵：
（1）认真观察数阵，求和：1³+2³+…+n³；
（2）若数列{a_n}中的每一项都大于0，证明：{a_n}的通项公式为a_n=n的充要条件是对任意的n∈N^*，都有$\frac{{a}_{1}^{3}+{a}_{2}^{3}+…+{a}_{n}^{3}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$n（n+1）．

Answer 1

分析 （1）通过读取图表，可以看出1³+2³+…+n³可转化为n个等差数列的前n项和，然后由等差数列的前n项和得答案；
（2）证必要性可直接把a_n=n代入等式左边证明，充分性由等式右边=$\frac{[\frac{1}{2}n（n+1）]^{2}}{\frac{1}{2}n（n+1）}$，再结合（1）证明．

解答 （1）解：由数阵可知，
1³+2³+…+n³=（1+2+…+n）+2（1+2+…+n）+…+n（1+2+…+n）
=（1+2+…+n）（1+2+…+n）=$[\frac{1}{2}n（n+1）]^{2}$；
（2）证明：必要性：由a_n=n，得$\frac{{a}_{1}^{3}+{a}_{2}^{3}+…+{a}_{n}^{3}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{[\frac{1}{2}n（n+1）]^{2}}{\frac{1}{2}n（n+1）}=\frac{1}{2}n（n+1）$；
充分性：若数列{a_n}满足$\frac{{a}_{1}^{3}+{a}_{2}^{3}+…+{a}_{n}^{3}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$n（n+1），
即$\frac{{a}_{1}^{3}+{a}_{2}^{3}+…+{a}_{n}^{3}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$n（n+1）=$\frac{[\frac{1}{2}n（n+1）]^{2}}{\frac{1}{2}n（n+1）}$=$\frac{（1+2+…+n）（1+2+…+n）}{1+2+…+n}$
=$\frac{（1+2+…+n）+2（1+2+…+n）+…+n（1+2+…+n）}{1+2+…+n}$，
由（1）知，$\frac{（1+2+…+n）+2（1+2+…+n）+…+n（1+2+…+n）}{1+2+…+n}$=$\frac{{1}^{3}+{2}^{3}+…+{n}^{3}}{1+2+…+n}$，
∴a_n=n．
即：若数列{a_n}中的每一项都大于0，则{a_n}的通项公式为a_n=n的充要条件是对任意的n∈N^*，都有$\frac{{a}_{1}^{3}+{a}_{2}^{3}+…+{a}_{n}^{3}}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$n（n+1）．

点评 本题考查了数列的求和，考查了学生读取图表的能力，训练了充分必要条件的证明方法，是中档题．