Question

18．记函数f（x）的导函数是f′（x），过点（0，-1）作曲线f（x）=（x-1）³+4x•f′（0）的切线，则切线方程是y=-$\frac{13}{4}$x-1或y=-x-1．

Answer 1

分析 求导数，令x=0，可得f′（0）=-1，f′（x）=3（x-1）²-4．设切点是（x₀，y₀），求出在切点处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程即可．

解答 解：∵f（x）=（x-1）³+4x•f′（0），
∴f′（x）=3（x-1）²+4f′（0），
∴f′（0）=3（0-1）²+4f′（0），
∴f′（0）=-1，
∴f′（x）=3（x-1）²-4，
设切点是（x₀，y₀），
则有y₀=（x₀-1）³-4x₀，①
k=f′（x₀）=3（x₀-1）²-4，
又k=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$=3（x₀-1）²-4，②
由①②得x₀=$\frac{3}{2}$，或x₀=0，
∴k=-$\frac{13}{4}$，或k=-1．
∴所求曲线的切线方程为：y=-$\frac{13}{4}$x-1或y=-x-1．
故答案为：y=-$\frac{13}{4}$x-1或y=-x-1．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率；注意“在点处的切线”与“过点的切线”的区别．属于中档题．