Question

16．已知函数f（x）=（x²-2x+k）e^x（e=2.71828…是自然对数的底数）
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=0处的切线与直线x+y=0平行，求k的值
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间
（Ⅲ）求函数f（x）在[0，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导f′（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x+k）e^x=（x²+k-2）e^x，从而可得f′（0）=（0²+k-2）e⁰=-1；从而求k；
（Ⅱ）由导数f′（x）=（x²+k-2）e^x知，以k-2≥0或k-2＜0进行分类讨论，从而确定函数的单调性；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，分k≥2，-2＜k＜2，k≤-2进行讨论，从而确定函数f（x）的单调性，进而求最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=（x²-2x+k）e^x（e=2.71828…是自然对数的底数），
∴f′（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x+k）e^x
=（x²+k-2）e^x，
又∵曲线y=f（x）在x=0处的切线与直线x+y=0平行，
∴f′（0）=（0²+k-2）e⁰=-1；
故k=1；
（Ⅱ）∵f′（x）=（x²+k-2）e^x，
∴①当k-2≥0时，f′（x）≥0，
故f（x）在定义域R上是增函数；
②当k-2＜0时，x∈（-$\sqrt{2-k}$，$\sqrt{2-k}$）时，f′（x）＜0，
x∈（-∞，-$\sqrt{2-k}$）∪（$\sqrt{2-k}$，+∞）时，f′（x）＞0；
故f（x）在（-∞，-$\sqrt{2-k}$）上是增函数，在（-$\sqrt{2-k}$，$\sqrt{2-k}$）上是减函数，
在（$\sqrt{2-k}$，+∞）上是增函数；
（Ⅲ）当k≥2时，函数f（x）在[0，2]上单调递增，
故f（x）_min=f（0）=k；
当0＜$\sqrt{2-k}$＜2，即-2＜k＜2时，
函数f（x）在[0，$\sqrt{2-k}$）上是减函数，在（$\sqrt{2-k}$，2]上是增函数；
故f（x）_min=f（$\sqrt{2-k}$）=（2-2$\sqrt{2-k}$）${e}^{\sqrt{2-k}}$；
当$\sqrt{2-k}$≥2，即k≤-2时，
函数f（x）在[0，2]上是减函数，
故f（x）_min=f（2）=k•e²．

点评 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的数学思想应用，属于中档题．