Question

6．已知双曲线Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，以原点为圆心，OF为半径的圆分别与双曲线Γ的一条渐近线及双曲线Γ交于M、N两点（其中M、N均为第一象限上的点），当MF∥ON时，双曲线Γ的离心离一定在区间（　　）

• A． （1，$\frac{4}{3}$）
• B． （$\frac{4}{3}$，$\sqrt{2}$）
• C． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）
• D． （$\sqrt{3}$，2）

Answer 1

分析 求得双曲线的焦点和一条渐近线方程，圆的方程，联立渐近线方程和圆方程可得M，联立圆方程和双曲线方程可得N，运用两直线平行条件可得直线ON方程，代入N的坐标，结合离心率公式，构造三次函数，结合零点存在定理即可求得e的范围．

解答 解：双曲线Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（-c，0），
一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
以原点为圆心，OF为半径的圆为x²+y²=c²，
联立渐近线方程和圆的方程，可得M（a，b），
MF的斜率为k=$\frac{b}{a+c}$，
由MF∥ON，可得ON的斜率为$\frac{b}{a+c}$，
即有直线ON：y=$\frac{b}{a+c}$x．
联立圆的方程和双曲线方程，可得N（$\frac{a}{c}\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}$，$\frac{{b}^{2}}{c}$），
即有$\frac{{b}^{2}}{c}$=$\frac{b}{a+c}$•$\frac{a}{c}\sqrt{{c}^{2}+{b}^{2}}$，
化简可得c³+2ac²-2a²c-2a³=0，
由e=$\frac{c}{a}$可得，
e³+2e²-2e-2=0，
令f（x）=x³+2x²-2x-2，
f（1）=-1＜0，f（$\frac{4}{3}$）=$\frac{34}{27}$＞0，
则f（1）f（$\frac{4}{3}$）＜0，
由零点存在定理可得，e∈（1，$\frac{4}{3}$）．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的范围，同时考查直线和圆的位置关系、两直线平行的条件和圆和双曲线的交点求法，运用离心率公式和函数的零点存在定理是解题的关键．