Question

1．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2BC=2BB₁，沿平面C₁BD把这个长方体截成两个几何体：几何体（1）；几何体（2）

（ I）设几何体（1）、几何体（2）的体积分为是V₁、V₂，求V₁与V₂的比值
（ II）在几何体（2）中，求二面角P-QR-C的正切值．

Answer 1

分析 （ I）根据空间几何体的形状结合棱锥和棱柱的体积公式即可求几何体（1）、几何体（2）的体积以及求V₁与V₂的比值．
（ II）求出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可求出二面角的大小．

解答 解（ I）设BC=a，则AB=2a，BB₁=a，所以${V_{ABCD-{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}}=2a×a×a=2{a^3}$---------（2分）
因为${V_2}=\frac{1}{3}{S_{△CQR}}×PC=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2a×a×a=\frac{1}{3}{a^3}$--------------------------（4分）
${V_1}={V_{ABCD-{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}}-{V_2}=2{a^3}-\frac{1}{3}{a^3}=\frac{5}{3}{a^3}$----------------------（5分）
所以$\frac{V_1}{V_2}=\frac{{\frac{5}{3}{a^3}}}{{\frac{1}{3}{a^3}}}=5$------------（6分）
（ II）由点C作CH⊥QR于点H，连结PH，因为PC⊥面CQR，QR?面CQR，所以PC⊥QR
因为PC∩CH=C，所以QR⊥面PCH，又因为PH?面PCH，
所以QR⊥PH，所以∠PHC是二面角P-QR-C的平面角--------------------（9分）
而$CH•QR=CQ•CR，CH×\sqrt{5}a=a×2a，CH=\frac{2a}{{\sqrt{5}}}$
所以$tan∠PHC=\frac{a}{{\frac{2a}{{\sqrt{5}}}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$------------------------------（12分）

点评 本题主要考查空间几何体的体积的计算以及空间二面角的求解，要求熟练掌握空间几何体的体积的计算公式以及二面角平面角的求解，考查学生的推理能力．