Question

16．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，对角线AC，BD相交于点O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱BC的中点，DM=3$\sqrt{2}$．求证：
（1）OM∥平面ABD；
（2）平面ABC⊥平面MDO．

Answer 1

分析 （1）证明OM∥AB．利用直线与平面平行的判定定理证明OM∥平面ABD．
（2）利用勾股定理证明OD⊥OM，证明OD⊥AC，然后证明OD⊥平面ABC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABC⊥平面MDO．

解答 证明：（1）由题意知，O为AC的中点，∵M为BC的中点，∴OM∥AB．，------------------------（2分）．又∵OM?平面ABD，BC?平面ABD．
∴OM∥平面ABD，------------------------（6分）
（2）由题意可知：OM=OD=3，DM=$3\sqrt{2}$，∴OM²+OD²=DM²．
∴∠DOM=90°，即OD⊥OM，------------------------（8分）
又∵四边形ABCD是菱形，∴OD⊥AC，
∵OM∩AC=O，AC?平面ABC，
∴OD⊥平面ABC，------------------------（10分）
∵OD?平面ADO，
∴平面ABC⊥平面MDO，------------------------（12分）

点评 本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力逻辑推理能力．