Question

4．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），D（0，0，2），E（0，2，1）．
（Ⅰ）求证：直线BE∥平面ADO；
（Ⅱ）求直线OB和平面ABD所成的角；
（Ⅲ）在直线BE上是否存在点P，使得直线AP与直线BD垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量关系利用线面平行的判定定理即可证明直线BE∥平面ADO；
（Ⅱ）求出平面ABD的法向量，利用向量法即可求直线OB和平面ABD所成的角；
（Ⅲ）根据空间直线垂直的坐标关系即可得到结论．

解答 解：（I）法一：取点C（0，2，0）
则$\overrightarrow{CB}=（2，0，0），\overrightarrow{OA}=（2，0，0）$，所以$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OA}$，所以OA∥CB-------------（1分）
又$\overrightarrow{OD}=（0，2，0），\overrightarrow{CE}=（0，1，0）$，所以$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}$，所以OD∥CE-------------（2分）
又OA∩OD=D，CE∩CB=C
所以平面OAD∥CBE-------------（3分）
所以BE∥平面ADO-------------（4分）
法二：由题意，点A，D，O所在的平面就是 xOz平面，
取其法向量为$\overrightarrow n=（0，1，0）$，-------------（1分）
而$\overrightarrow{BE}=（-2，0，1）$，所以$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow n=0$，即$\overrightarrow{BE}⊥\overrightarrow n$，-------------（3分）
又显然点B，E不在平面ADO上，
所以BE∥平面ADO．-------------（4分）
（ II）设平面ABD的法向量为$\overrightarrow m=（a，b，c）$，
因为$\overrightarrow{AB}=（0，2，0），\overrightarrow{AD}=（-2，0，2）$，
所以$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow m=2b=0\\ \overrightarrow{AD}•\overrightarrow m=-2a+2c=0\end{array}\right.$，所以可取$\overrightarrow m=（1，0，1）$．-------------（6分）
又$\overrightarrow{OB}=（2，2，0）$，
设OB与平面ABD所成的角为θ．
所以$sinθ=|cos＜\overrightarrow{OB}，\overrightarrow m＞|=|\frac{{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow m}}{{|\overrightarrow{OB}||\overrightarrow m|}}|=\frac{2}{{\sqrt{2}•2\sqrt{2}}}=\frac{1}{2}$．-------------（8分）
所以直线OB和平面ABD所成的角为$\frac{π}{6}$．-------------（9分）
（Ⅲ）假设存在点P（x，y，z），使得直线AP与直线BD垂直．
设$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BE}$，即（x-2，y-2，z）=（-2λ，0，λ）．-------------（10分）
所以$\left\{\begin{array}{l}x=2-2λ\\ y=2\\ z=λ\end{array}\right.$，
所以$\overrightarrow{AP}=（-2λ，2，λ）$．
又$\overrightarrow{BD}=（-2，-2，2）$，
所以$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BD}=4λ-4+2λ=0$，-------------（11分）
解得$λ=\frac{2}{3}$，所以在直线BE上存在点P，使得直线AP与直线BD垂直，
点P的坐标为$（\frac{2}{3}，2，\frac{2}{3}）$．-------------（12分）

点评 本题主要考查空间直线和平面平行的判断，以及空间直线和平面所成角的求解以及空间直线垂直的判断，利用坐标法是解决本题的关键．