Question

14．已知函数f（x）=（k+$\frac{4}{k}$）lnx+$\frac{4-{x}^{2}}{x}$，其中常数k＞0．
（1）当k=1时，求f（x）在定义域上的单调区间；
（2）若k∈[4，+∞），曲线y=f（x）上总存在相异两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）使得曲线y=f（x）在M，N两点的切线互相平行，求x₁+x₂的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当k=1时，f（x）=5lnx+$\frac{4-{x}^{2}}{x}$，x∈（0，+∞），则f′（x）=$\frac{5}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$-1=$\frac{-（x-4）（x-1）}{{x}^{2}}$，分别解出f′（x）＜0，f′（x）＞0，即可得出单调区间．
（2）f′（x）=$（k+\frac{4}{k}）\frac{1}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$-1．由题意可得：${f}^{′}（{x}_{1}）={f}^{′}（{x}_{2}）$（x₁，x₂＞0，且x₁≠x₂）．化为：4（x₁+x₂）=$（k+\frac{4}{k}）$x₁x₂，而${x}_{1}{x}_{2}＜（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）^{2}$，因此x₁+x₂＞$\frac{16}{k+\frac{4}{k}}$对k∈[4，+∞）都成立，令g（k）=$k+\frac{4}{k}$，k∈[4，+∞），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：（1）当k=1时，f（x）=5lnx+$\frac{4-{x}^{2}}{x}$，x∈（0，+∞），
则f′（x）=$\frac{5}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$-1=$\frac{-（x-4）（x-1）}{{x}^{2}}$，
当0＜x＜1或x＞4时，f′（x）＜0；当1＜x＜4时，f′（x）＞0．
∴函数f（x）的单调递减区间为（0，1），（4，+∞），单调递减区间为（1，4）．
（2）f′（x）=$（k+\frac{4}{k}）\frac{1}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$-1．
由题意可得：${f}^{′}（{x}_{1}）={f}^{′}（{x}_{2}）$（x₁，x₂＞0，且x₁≠x₂）．
∴$\frac{k+\frac{4}{k}}{{x}_{1}}$-$\frac{4}{{x}_{1}^{2}}$-1=$\frac{k+\frac{4}{k}}{{x}_{2}}$-$\frac{4}{{x}_{2}^{2}}$-1，
化为：4（x₁+x₂）=$（k+\frac{4}{k}）$x₁x₂，而${x}_{1}{x}_{2}＜（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）^{2}$，
∴4（x₁+x₂）＜$（k+\frac{4}{k}）$$（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）^{2}$，
化为x₁+x₂＞$\frac{16}{k+\frac{4}{k}}$对k∈[4，+∞）都成立，
令g（k）=$k+\frac{4}{k}$，k∈[4，+∞），
g′（k）=1-$\frac{4}{{k}^{2}}$＞0，对k∈[4，+∞）恒成立，
∴g（k）≥g（4）=5，
∴$\frac{16}{k+\frac{4}{k}}$$≤\frac{16}{5}$，
∴x₁+x₂＞$\frac{16}{5}$，即x₁+x₂的取值范围是$（\frac{16}{5}，+∞）$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．