Question

9．已知等差数列{a_n}的首项为1，公差d≠0，且a₁、a₂、a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式与前n项和S_n；
（2）设b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$（n∈N^*），求使不等式b₁+b₂+…+b_n＞$\frac{9}{5}$成立的最小正整数n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”可得b₁+b₂+…+b_n=$\frac{2n}{n+1}$，再解不等式$\frac{2n}{n+1}$＞$\frac{9}{5}$即可求得最小正整数n．

解答 解：（1）∵a₁、a₂、a₄成等比数列，
∴${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$，
∴（1+d）²=1×（1+3d），化为d²-d=0，
∵d≠0，解得d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n，S_n=$\frac{n（1+n）}{2}$．
（2）b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴b₁+b₂+…+b_n=$2[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$2（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{2n}{n+1}$．
不等式b₁+b₂+…+b_n＞$\frac{9}{5}$化为$\frac{2n}{n+1}$$＞\frac{9}{5}$，∴n＞9．
∴使不等式b₁+b₂+…+b_n＞$\frac{9}{5}$成立的最小正整数n=10．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．