Question

19．已知直线y=x与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个交点为P，椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，椭圆的离心率为e，则e²=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$
• D． 2-$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用已知条件求出P的坐标，代入椭圆方程，化简求解即可．

解答 解：直线y=x与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个交点为P，椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
不妨设P（x，x），x＞0可得：$\sqrt{2}x$=c，
则P$（\frac{\sqrt{2}}{2}c，\frac{\sqrt{2}}{2}c）$，代入椭圆方程可得：$\frac{{（\frac{\sqrt{2}}{2}c）}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{（\frac{\sqrt{2}}{2}c）}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
即$\frac{1}{2}$e²+$\frac{1}{2}$•$\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1．
即${e}^{2}+\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}=2$
可得${e}^{2}+\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}}=2$．
${e}^{2}+\frac{{e}^{2}}{1-{e}^{2}}=2$，
解得：e²=2-$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，椭圆与向量的关系，考查计算能力．