Question

13．经过点（1，$\frac{1}{2}$），渐近线与圆（x-3）²+y²=1相切的双曲线的标准方程为（　　）

• A． x²-8y²=1
• B． 2x²-4y²=1
• C． 8y²-x²=1
• D． 4x²-2y²=1

Answer 1

分析 设双曲线的渐近线方程为mx±ny=0（m＞0，n＞0），利用渐近线与圆（x-3）²+y²=1相切，可得渐近线方程，设出双曲线方程，代入点（1，$\frac{1}{2}$），即可得出结论．

解答 解：设双曲线的渐近线方程为mx±ny=0（m＞0，n＞0）
∵渐近线与圆（x-3）²+y²=1相切，
∴$\frac{|3m|}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=1，
∴n=2$\sqrt{2}$m，∴渐近线方程为x±2$\sqrt{2}$y=0
∴双曲线方程设为x²-8y²=λ，
代入点（1，$\frac{1}{2}$），可得λ=1-2=-1，
∴双曲线方程为8y²-x²=1．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的性质与方程，考查学生的计算能力，确定渐近线方程是关键．