Question

8．设△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，
（1）若S=$\frac{1}{12\sqrt{3}}$（3a²+b²+6c²），用b，c表示sin（A+$\frac{π}{6}$），并求∠A的大小．
（2）当∠A取（1）中的值且△ABC为锐角三角形时，求cos²B-sin²C的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把 S=$\frac{1}{2}$bc•sinA、余弦定理代入S=$\frac{1}{12\sqrt{3}}$（3a²+b²+6c²），利用基本不等式求得sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，可得A的值．
（2）由条件求得-$\frac{π}{3}$＜B-C＜$\frac{π}{3}$，利用三角恒等变换化简cos²B-sin²C 为$\frac{1}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$，求得 $\frac{1}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$ 的范围，从而求得cos²B-sin²C的取值范围．

解答 解：（1）∵S=$\frac{1}{2}$bc•sinA，a²=b²+c²-2bc•cosA，代入S=$\frac{1}{12\sqrt{3}}$（3a²+b²+6c²），
可得 $\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{1}{12\sqrt{3}}$（4b²-6bc•cosA+9c²），化简可得sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{{4a}^{2}{+9c}^{2}}{12bc}$≥$\frac{12bc}{12bc}$=1，
故有sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，∴A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{π}{3}$．
（2）当∠A=$\frac{π}{3}$，且△ABC为锐角三角形时，则有-$\frac{π}{3}$＜B-C＜$\frac{π}{3}$，求cos²B-sin²C=$\frac{1+cos2B}{2}$-$\frac{1-cos2C}{2}$
=$\frac{cos2B+cos2C}{2}$=cos$\frac{B+C}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$=$\frac{1}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$，
∴$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$≤$\frac{1}{2}$，即cos²B-sin²C的取值范围为（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题主要考查余弦定理、基本不等式、三角恒等变换，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．