Question

11．已知动点P到点F（1，0）的距离比到直线l：x+2=0距离小1．设动点P的轨迹为C，
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）已知定点M（4，0）．斜率为k的直线交轨迹C于A、B两点，使△ABM成为以AB为底边的等腰三角形，
①求斜率k的取值范围；
②求弦长|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据条件结合抛物线的定义即可求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线方程联立直线和抛物线方程转化为一元二次方程，利用等腰三角形的性质即可求出斜率以及弦长的最值．

解答 解：（Ⅰ）设P（x，y），由题意可得，P在直线x+2=0右边，
所以P点到直线x=-1和到F（1，0）距离相等，
所以P点的轨迹是顶点在原点，F为焦点，开口向右的抛物线，
∵F和顶点的距离=$\frac{p}{2}$=1，2p=4，所以轨迹C的方程是y²=4x．…（4分）
（Ⅱ） ①设直线AB的方程为y=kx+b，联立抛物线y²=4x，消元得：k²x²+（2kb-4）x+b²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）及AB中点为N（x₀，y₀），
则${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{2-kb}{k^2}$，y₀=kx₀+b=$\frac{2}{k}$…（6分）
∵AM=BM，∴MN⊥AB，∴k_MN•k_AB=-1，即$\frac{{\frac{2}{k}}}{{\frac{2-kb}{k^2}-4}}•k=\frac{2k}{{2-kb-4{k^2}}}•k$=-1，
得2-kb=2k²，$b=\frac{2}{k}-2k$，…（8分）
由△=16-16kb=$16（2{k^2}-1）＞0⇒{k^2}＞\frac{1}{2}$，∴$k＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}$或$k＜-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…（10分）；
②$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=4\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{\sqrt{1-kb}}}{k^2}=4\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{2{k^2}-1}}}{k^2}$=$4\sqrt{\frac{{2{k^4}+{k^2}-1}}{k^4}}=4\sqrt{-\frac{1}{k^4}+\frac{1}{k^2}+2}$．…（12分）
令$\frac{1}{k^2}=t，则0＜t＜2$，∴$|AB|=4\sqrt{-{t^2}+t+2}=4\sqrt{-{{（t-\frac{1}{2}）}^2}+\frac{9}{4}}≤6$．
所以弦长|ΑΒ|的最大为6．…（15分）

点评 本题主要考查曲线方程的求解，根据抛物线的定义建立方程关系是解决本题的关键．联系直线和抛物线方程，利用直线和抛物线相交的弦长公式求出弦长的最值，考查学生的运算能力．