Question

17．已知数列{a_n}的前n相和为S_n=$\frac{1}{2}$n（n+1），n∈N^*，b_n=3${\;}^{{a}_{n}}$+（-1）ⁿ-1a_n，则数列{b_n}的前2n+1项和为$\frac{1}{2}•{3}^{2n+2}+n-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由数列的前n项和求出数列{a_n}的通项公式，代入b_n=3${\;}^{{a}_{n}}$+（-1）^n-1a_n，然后利用数列的分组求和及等比数列的前n项和得答案．

解答 解：由S_n=$\frac{1}{2}$n（n+1），得${a}_{1}={S}_{1}=\frac{1}{2}×1×2=1$，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}n（n+1）-\frac{1}{2}（n-1）n$=n，
当n=1时上式成立，
∴a_n=n，
则b_n=3${\;}^{{a}_{n}}$+（-1）^n-1a_n=3ⁿ+（-1）^n-1n，
∴数列{b_n}的前2n+1项和为（3¹+3²+…+3²ⁿ⁺¹）+[1-2+3-4+…+（2n-1）-2n+（2n+1）]
=$\frac{3（1-{3}^{2n+1}）}{1-3}+n+1$=$\frac{1}{2}•{3}^{2n+2}+n-\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}•{3}^{2n+2}+n-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等差关系的确定，考查了数列的分组求和及等比数列的前n项和，是中档题．