Question

6．已知曲线C₁的极坐标方程是ρ=4cosθ，曲线C₁经过平移变换$\left\{\begin{array}{l}{x^'}=x+2\\{y^'}=y-1\end{array}\right.$得到曲线C₂；以极点为原点，极轴为x轴正方向建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcosθ}\\{y=1+tsinθ}\end{array}}\right.$（t为参数）．
（1）求曲线C₁，C₂的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C₁交于A、B两点，点M的直角坐标为（2，1），若$\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{MB}$，求直线l的普通方程．

Answer 1

分析 （1）利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．
（2）设A（2+t_Acosθ，1+t_Asinθ），B（2+t_Bcosθ，1+t_Bsinθ）．把直线的参数方程代入曲线C₁的方程，根据t的几何意义即可求出．

解答 解：（1）曲线C₁的极坐标方程是ρ=4cosθ，直角坐标方程为（x-2）²+y²=4．
曲线C₁经过平移变换$\left\{\begin{array}{l}{x^'}=x+2\\{y^'}=y-1\end{array}\right.$得到曲线${C_2}：{（x-4）^2}+{（y+1）^2}=4$…（4分）
（2）设A（2+t₁cosθ，1+t₁sinθ），B（2+t₂cosθ，1+t₂sinθ），
由$\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{MB}$，得t₁=-2t₂①…（4分）
联立直线的参数方程与曲线C₁的直角坐标方程得：t²cos²θ+（1+tsinθ）²=4，
整理得：t²+2tsinθ-3=0，∴t₁+t₂=-2sinθ，t₁•t₂=-3，与①联立得：$sinθ=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，$cosθ=±\frac{{\sqrt{10}}}{4}$…（8分）∴直线的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{{\sqrt{10}}}{4}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{6}}}{4}t}\end{array}}\right.$（t为参数）或$\left\{{\begin{array}{l}{x=2-\frac{{\sqrt{10}}}{4}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{6}}}{4}t}\end{array}}\right.$（t为参数）
消去参数的普通方程为$\sqrt{15}x-5y-2\sqrt{15}=0$或$\sqrt{15}x+5y-2\sqrt{15}=0$…（10分）

点评 本题考查了极坐标、直角坐标方程、及参数方程的互化，考查了方程思想，属于基础题．