Question

16．在平面直角坐标系中，已知A（ cosx，1），B（l，-sinx），X∈R，
（Ⅰ）求|AB|的最小值；
（Ⅱ）设$f（x）=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象求函数g（x）的对称中心．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出|AB|，利用三角函数的性质求|AB|的最小值；
（Ⅱ）求出$f（x）=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，利用函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，可得g（x），再求函数g（x）的对称中心．

解答 解：（Ⅰ）|AB|=$\sqrt{（cosx-1）^{2}+（1+sinx）^{2}}$=$\sqrt{3-2cosx+2sinx}$=$\sqrt{3-2\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）}$
∴|AB|的最小值为$\sqrt{3-2\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1；
（Ⅱ）$f（x）=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=cosx-sinx=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$），
将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）=$\sqrt{2}$cos（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$），
令$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，可得x=2kπ+$\frac{π}{2}$，
∴函数g（x）的对称中心为（2kπ+$\frac{π}{2}$，0）（k∈Z）．

点评 本题考查平面向量知识的运用，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，确定f（x）是关键．