Question

6．函数f（x）=asinx+bcosx+c（a，b，c为非零常数）的图象过原点，且对任意x∈R，总有f（x）≥f（$\frac{π}{3}$）成立．
（1）若f（x）的最小值等于-1，求f（x）的解析式．
（2）试求f（x）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的值域．

Answer 1

分析 （1）由f（x）图象过原点可得f（0）=0，由对任意x∈R总有f（x）≥f（$\frac{π}{3}$）及最小值为-1得f（$\frac{π}{3}$）=-1，且有f′（$\frac{π}{3}$）=0，联立方程组可解；
（2）化简函数解析式可得f（x）=1-2sin（x+$\frac{π}{6}$），由x的范围，根据正弦函数的图象和性质即可求得值域．

解答 解：（1）由题意，得 $\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{f（0）=b+c=0}{f（\frac{π}{3}）=\frac{\sqrt{3}a}{2}+\frac{b}{2}+c=-1}}\\{f′（\frac{π}{3}）=\frac{a}{2}-\frac{\sqrt{3}b}{2}=0}\end{array}\right.$，
解得a=-$\sqrt{3}$，b=-1，c=1，
∴f（x）=-$\sqrt{3}$sinx-cosx+1．
（2）由（1）可知，f（x）=-$\sqrt{3}$sinx-cosx+1=1-2sin（x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∴x+$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴2sin（x+$\frac{π}{6}$）∈（-$\sqrt{3}$，2]，
∴f（x）=1-2sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1+$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的性质，考查学生综合运用知识解决问题的能力，属于基本知识的考查．