Question

17．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F（-$\sqrt{7}$，0），被直线y=x-1所截得的弦中点横坐标为-$\frac{2}{3}$，求此双曲线方程．

Answer 1

分析 先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得一元二次方程，再根据韦达定理及弦中点横坐标，可得a、b的一个方程，又双曲线中有c²=a²+b²，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．

解答 解：设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）．
将y=x-1代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，整理得（b²-a²）x²+2a²x-a²-a²b²=0．
由韦达定理得x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$=-$\frac{2}{3}$．
又c²=a²+b²=7，解得a²=2，b²=5，
所以双曲线的方程是$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$．

点评 本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．