Question

9．已知a＞0，b＞0，a+b=1，则$\frac{{a}^{2}}{a+2}$+$\frac{{b}^{2}}{b+3}$的最小值为$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 由题意，$\frac{{a}^{2}}{a+2}$+$\frac{{b}^{2}}{b+3}$=$\frac{1}{6}$（a+2+b+3）（$\frac{{a}^{2}}{a+2}$+$\frac{{b}^{2}}{b+3}$），展开，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：由题意，$\frac{{a}^{2}}{a+2}$+$\frac{{b}^{2}}{b+3}$=$\frac{1}{6}$（a+2+b+3）（$\frac{{a}^{2}}{a+2}$+$\frac{{b}^{2}}{b+3}$）
=$\frac{1}{6}$（${a}^{2}+{b}^{2}+\frac{b+3}{a+2}•{a}^{2}+\frac{a+2}{b+3}•{b}^{2}$）≥$\frac{1}{6}（{a}^{2}+{b}^{2}+2ab）$=$\frac{1}{6}$，
∴$\frac{{a}^{2}}{a+2}$+$\frac{{b}^{2}}{b+3}$的最小值为$\frac{1}{6}$．
故答案为：$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查最小值的求法，考查基本不等式的运用，正确变形是关键．