Question

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+$\sqrt{3}$acosB=$\sqrt{3}c$．
（1）求A的大小
（2）若c=3b，求tanC的值．

Answer 1

分析 （1）运用正弦定理和诱导公式以及两角和的正弦公式，结合同角的基本关系式，化简整理，即可得到A；
（2）运用三角形的内角和定理和正弦定理，结合同角的商数关系，化简整理，即可得到所求值．

解答 解：（1）由正弦定理可得，
sinAsinB+$\sqrt{3}$sinAcosB=$\sqrt{3}$sinC，
又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
即有sinAsinB=$\sqrt{3}$cosAsinB，
即tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$\sqrt{3}$，
0＜A＜π，则A=$\frac{π}{3}$；
（2）由A=$\frac{π}{3}$，则B+C=$\frac{2π}{3}$，
由正弦定理，可得c=3b，即为
sinC=3sinB，
即sinC=3sin（$\frac{2π}{3}$-C）=3（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC+$\frac{1}{2}$sinC），
即有-sinC=3$\sqrt{3}$cosC，
则tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=-3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理的运用，同时考查三角函数的化简和求值，运用两角和差的正弦公式和诱导公式是解题的关键．