Question

20．已知D是△ABC的边BC上（不包括B、C点）的一动点，且满足$\overrightarrow{AD}$=$α\overrightarrow{AB}$+$β\overrightarrow{AC}$，则$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$的最小值为（　　）

• A． 3
• B． 5
• C． 6
• D． 4

Answer 1

分析 利用向量共线定理、基本不等式的性质即可得出最小值4．

解答 解：∵B，C，D三点共线，且满足$\overrightarrow{AD}$=$α\overrightarrow{AB}$+$β\overrightarrow{AC}$，
∴α+β=1，α，β＞0．
∴$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$=（α+β）（$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$）=2+$\frac{α}{β}$+$\frac{β}{α}$≥2+2$\sqrt{\frac{α}{β}•\frac{β}{α}}$=4，
当且仅当$α=β=\frac{1}{2}$，取得等号，
则$\frac{1}{α}$+$\frac{1}{β}$的最小值为4．
故选D．

点评 本题考查了向量共线定理、基本不等式的性质的运用：求最值，属于基础题．