Question

10．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\frac{2b-c}{a}=\frac{cosC}{cosA}$．
（I）求角A的大小；
（Ⅱ）若函数$y=\sqrt{3}sinB+sin（C-\frac{π}{6}）$的值域．

Answer 1

分析 （I）由$\frac{2b-c}{a}=\frac{cosC}{cosA}$，利用正弦定理可得2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC，可得cosA=$\frac{1}{2}$．
（II）y=$\sqrt{3}$sinB+sin$（π-\frac{π}{3}-B-\frac{π}{6}）$=2$sin（B+\frac{π}{6}）$，利用锐角三角形的性质可得$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{2}$，再利用正弦函数的单调性即可得出．

解答 解：（I）由$\frac{2b-c}{a}=\frac{cosC}{cosA}$，
利用正弦定理可得2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC，
化为2sinBcosA=sin（C+A）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A∈$（0，\frac{π}{2}）$，∴$A=\frac{π}{3}$．
（II）y=$\sqrt{3}$sinB+sin$（π-\frac{π}{3}-B-\frac{π}{6}）$
=$\sqrt{3}$sinB+cosB
=2$sin（B+\frac{π}{6}）$，
∵B+C=$\frac{2π}{3}$，$0＜B＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{3}＜B+\frac{π}{6}＜\frac{2π}{3}$，
∴$sin（B+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{\sqrt{3}}{2}，1]$，
∴y∈$（\sqrt{3}，2]$．

点评 本题考查了正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．