Question

19．求函数y=x$\sqrt{1-{x}^{2}}$的最值．

Answer 1

分析 令x=cosx （x∈[0，π]），问题转化为求三角函数的最值．

解答 解：令x=cosx，x∈[0，π]，
则y=x$\sqrt{1-{x}^{2}}$
=cosx$•\sqrt{1-co{s}^{2}x}$
=cosxsinx
=$\frac{1}{2}sin2x$，
∵x∈[0，π]，∴0≤2x≤2π，
所以-1≤sinx≤1，
从而$-\frac{1}{2}≤y=\frac{1}{2}sinx≤\frac{1}{2}$，
故函数y=x$\sqrt{1-{x}^{2}}$的最大值为$\frac{1}{2}$，最小值为$-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数的最值，变形后转化为三角函数求最值是解题的关键，属于中档题．