Question

4．不画图，写出下列函数的振幅、周期和初相，并说明这些函数的图象可以由正弦曲线经过怎样的变换得到．
（1）y=5sin（$\frac{4}{3}$x+$\frac{π}{8}$）；
（2）y=$\frac{3}{4}$sin（$\frac{1}{5}$x-$\frac{π}{7}$）；
（3）y=8sin（4x+$\frac{π}{3}$）；
（4）y=$\frac{1}{2}$sin（3x-$\frac{π}{10}$）．

Answer 1

分析 根据三角函数的A，ω和φ的意义进行求解即可．

解答 解：（1）y=5sin（$\frac{4}{3}$x+$\frac{π}{8}$）的振幅为5、周期T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{\frac{4}{3}}=\frac{3π}{2}$，初相φ=$\frac{π}{8}$；
y=sinx向左平移$\frac{π}{8}$个单位得到y=sin（x+$\frac{π}{8}$），
然后纵坐标不变，横坐标缩短到原来的$\frac{3}{4}$倍，得到y=sin（$\frac{4}{3}$x+$\frac{π}{8}$），最后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的5倍，得到y=5sin（$\frac{4}{3}$x+$\frac{π}{8}$）．
（2）y=$\frac{3}{4}$sin（$\frac{1}{5}$x-$\frac{π}{7}$）的振幅为$\frac{3}{4}$、周期T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{\frac{1}{5}}=10π$，初相φ=-$\frac{π}{7}$；
y=sinx向右平移$\frac{π}{7}$个单位得到y=sin（x-$\frac{π}{7}$），
然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的5倍，得到y=sin（$\frac{1}{5}$x-$\frac{π}{7}$）最后横坐标不变，纵坐标缩短到原来的$\frac{3}{4}$倍，得到y=$\frac{3}{4}$sin（$\frac{1}{5}$x-$\frac{π}{7}$）；
（3）y=8sin（4x+$\frac{π}{3}$）的振幅为8、周期T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{4}=\frac{π}{2}$，初相φ=$\frac{π}{3}$；
y=sinx向左平移$\frac{π}{3}$个单位得到y=sin（x+$\frac{π}{3}$），
然后纵坐标不变，横坐标缩短到原来的$\frac{1}{4}$倍，得到y=sin（4x+$\frac{π}{3}$），最后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的8倍，得到y=8sin（4x+$\frac{π}{3}$）．
（4）y=$\frac{1}{2}$sin（3x-$\frac{π}{10}$）的振幅为$\frac{1}{2}$、周期T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，初相φ=-$\frac{π}{10}$；
y=sinx向右平移$\frac{π}{10}$个单位得到y=sin（x-$\frac{π}{10}$），
然后纵坐标不变，横坐标缩短到原来的$\frac{1}{3}$倍，得到y=sin（3x-$\frac{π}{10}$），最后横坐标不变，纵坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍，得到y=$\frac{1}{2}$sin（3x-$\frac{π}{10}$）．

点评 本题主要考查三角函数A，ω和φ的意义，以及三角函数图象之间的关系，要求熟练掌握三角函数的图象变换．