Question

4．已知$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$为单位向量，且|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|．求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角．

Answer 1

分析 运用向量的平方即为模的平方，结合向量的数量积的定义和夹角范围，计算即可得到夹角．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$为单位向量，且|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|，
则（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²=3（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）²，
即有${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=3（${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$），
2${\overrightarrow{a}}^{2}$-8$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+2${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
即有2-8×1×1×cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞+2-=0，
即cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{1}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞≤π，
则有$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，属于基础题．