Question

13．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，BC=1，D，E，F分别是三边上的点，使△DEF为等边三角形，求其最小的周长．

Answer 1

分析 设等边△DEF的边长为x，显然∠C=90°，∠B=60°，EC=x•cosα，得到∠EDB=α，在三角形BDE中，利用正弦定理列出关系式，表示出BE，由BE+EC=BC，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，得到三角形的边长，求出边长的最小值，即可得到最小周长．

解答 解：设等边△DEF的边长为x，∠FEC=α，
显然∠C=90°，∠B=60°，EC=x•cosα，
∵∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B，
∴∠EDB=α．
在△BDE中，由正弦定理得$\frac{x}{sin60°}$=$\frac{BE}{sinα}$，
∴BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$xsinα，
∵BE+EC=BC，∴xcosα+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$xsinα=1，
∴x=$\frac{1}{cosα+\frac{2\sqrt{3}}{3}sinα}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}（\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}cosα+\frac{2}{\sqrt{7}}sinα）}$
=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}sin（α+θ）}$（cosθ=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$）．
当α+θ=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{2}$-θ时，x_min=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
此时△DEF的最小周长为$\frac{3\sqrt{21}}{7}$．

点评 此题考查了正弦定理，正弦函数的值域，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键