Question

8．已知f（x）=sinx+sin（x+$\frac{π}{3}$）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，B=2A，a=2，求边b，c的长．

Answer 1

分析 （1）利用两角和差的正弦公式可得f（x）=$\sqrt{3}sin（x+\frac{π}{6}）$．再利用正弦函数的单调性即可得出；
（2）利用同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦定理即可得出．

解答 解：（1）f（x）=sinx+sin（x+$\frac{π}{3}$）
=sinx+$\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx$
=$\sqrt{3}（\frac{\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx）$
=$\sqrt{3}sin（x+\frac{π}{6}）$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，解得$2kπ-\frac{2π}{3}≤x≤2kπ+\frac{π}{3}$，k∈Z．
∴f（x）的单调递增为$[2kπ-\frac{2π}{3}，2kπ+\frac{π}{3}]$（k∈Z）．
（2）∵0＜B=2A＜π，∴$0＜A＜\frac{π}{2}$，
又f（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\sqrt{3}sinA=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴sinA=$\frac{1}{3}$$＜\frac{1}{2}$=$sin\frac{π}{6}$，
∴$0＜A＜\frac{π}{6}$，$0＜B＜\frac{π}{3}$，
cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
sinB=sin2A=2sinAcosA=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∴cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{7}{9}$，
sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=$\frac{23}{27}$，
则由正弦定理知：$b=\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，c=$\frac{asinC}{sinA}$=$\frac{46}{9}$．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦定理、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．